为什么法线需要逆转置（Inverse-Transpose）矩阵？

核心问题：非均匀缩放会破坏法线

当对一个物体进行非均匀缩放（比如 X 轴缩放到 2 倍，Y 轴保持 1 倍），顶点和法线的变换方式不同。

数学证明：法线需要正交于切线

设：

• T = 切线向量（Tangent，沿表面方向）
• N = 法线向量（Normal，垂直于表面）
• M = 模型矩阵（Model）

关键约束：法线必须始终垂直于切线

N · T = 0

变换后，切线变成 M · T。需要找到矩阵 G，使得变换后的法线 G · N 仍然垂直于变换后的切线：

(G · N) · (M · T) = 0

利用矩阵转置性质 a · (Mb) = (Mᵀa) · b：

推导过程：

点积 a · v 等价于矩阵乘法 aᵀv（将向量 a 视为行向量），因此：

a · (Mb) = aᵀ(Mb)

矩阵乘法满足结合律 (aᵀM)b，再利用转置性质 (aᵀM) = (Mᵀa)ᵀ：

= (Mᵀa)ᵀ · b = (Mᵀa) · b

即：把矩阵 M 从右侧操作数"移到"左侧操作数时，M 需要转置为 Mᵀ。

G · N · M · T = N · (Gᵀ · M) · T = 0

为了让这个等式对任意 T 成立，需要：

Gᵀ · M = I

因此：

Gᵀ = M⁻¹ ⟹ G = (M⁻¹)ᵀ = (Mᵀ)⁻¹

因此：法线矩阵 = 模型矩阵的逆转置

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案例验证

初始条件：

• 切线向量 T = [0, 2]（沿 Y 轴方向）
• 法线向量 N = [1, 0]（沿 X 轴方向，垂直于 T）
• 验证初始正交：N · T = 1×0 + 0×2 = 0 ✓

模型矩阵（错切变换）：

M = | 1  1 |
    | 0  1 |

X 方向会受到 Y 的影响（错切）。

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第一步：变换切线

M · T = [1×0 + 1×2, 0×0 + 1×2] = [2, 2]

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第二步：直接用 M 变换法线（错误方式）

M · N = [1×1 + 1×0, 0×1 + 1×0] = [1, 0]

验证正交性：[2, 2] · [1, 0] = 2 ≠ 0 ✗ 法线不再垂直于切线！

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第三步：用逆转置矩阵变换法线（正确方式）

求 M 的逆矩阵：

M⁻¹ = | 1  -1 |
      | 0   1 |

对 M⁻¹ 转置得到法线矩阵 G = (M⁻¹)ᵀ：

G = | 1   0 |
    | -1  1 |

G · N = [1×1 + 0×0, -1×1 + 1×0] = [1, -1]

验证正交性：[2, 2] · [1, -1] = 2 + (-2) = 0 ✓ 法线正确垂直于切线！

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小结

变换方式	变换后法线	与变换后切线 [2,2] 的点积	是否垂直
直接用 M	[1, 0]	2	✗
用 (M⁻¹)ᵀ	[1, -1]	0	✓