1. 点乘、点积、内积、数量积、标量积

项目	说明
写法	a · b
计算（三维）	ax·bx + ay·by + az·bz
几何版	a标量 x b标量 x cosθ
结果	一个标量（数字）
用途	求夹角、投影、判断是否垂直

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2. 叉乘、叉积、向量积

项目	说明
写法	a × b
计算口诀	i(ay·bz − az·by) −j(ax·bz − az·bx) +k(ax·by − ay·bx)
几何意义	结果向量垂直于 a、b 平面 长度 = 以 a、b 为边的平行四边形面积
结果	一个向量
注意	a × b = − (b × a)

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3. 外积、张量积、Kronecker积

项目	说明
写法	a ⊗ b 或 a bᵀ
计算	把列向量 a 乘以行向量 bᵀ，得到矩阵
结果	一个矩阵（秩 1）
用途	构造线性变换、量子计算、机器学习

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4. 一句话总结

• 点积：得数
• 叉积：得向量
• 外积：得矩阵

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5. 例子（a = (1,2,3)，b = (4,5,6)）

运算	过程	结果
点积	1·4 + 2·5 + 3·6	32
叉积	按上面口诀算	(-3, 6, -1)
外积	a 乘 bᵀ	3×3 矩阵， [4 5 6] [8 10 12] [12 15 18]